Аналогии в курсе физики средней школы

Следовательно, равна нулю сумма производных по времени от энергий магнитного и электрического полей.

или

(3)

Физический смысл уравнения (3) состоит в том, что скорость изменения энергии магнитного поля по модулю равна скорости изменения энергии электрического поля; знак “минус” указывает на то, что, когда энергия электрического поля возрастает, энергия магнитного поля убывает (и наоборот). Поэтому полная энергия не меняется.

Вычисляя обе производные получаем:

так как , тогда

и

получаем

(4)

Уравнение (4) является основным уравнением, описывающем процессы в колебательном контуре.

Рассмотрим колебания вертикального пружинного и математического маятников.

Выведем груз из положения равновесия, рас¬тянув пружину на длину Хm (рис.2) и от¬пустим. (Амплитудное растяжение пружины Xm должно быть таково, чтобы был справедлив закон Гука и выводимая на его основе формула потенциальной энергии пружины.)

Рис.2

Мгновенные значения координаты груза х в процессе колебаний лежат в пределах -xmxxm . По закону сохраненья энергии имеем:

(5)

где X0=mg/k - статическое растяжение пру¬жины (потенциальную энергию груза в поле силы тяжести отсчитываем от уровня равно¬весия груза, обозначенного на рис. 2 пункти¬ром). Учитывая, что и , получим уравнение колебаний

=соnst (6)

Как видно уравнения колебаний горизонтального и вертикального пружинных маятников одинаковы.

Ускорение свободного падения g, имеющееся в уравнении (5), отсутствует в полученном уравнении колебаний. Следовательно, колеба¬ния груза на пружине не зависят от g и оди¬наковы, например, на Земле и Луне.

Хотя в дифференциальные уравнения (1) и (6) входят разные величины, математически они эквивалентны.

По аналогии с уравнением (4) описывающем процессы в колебательном контуре, запишем уравнение колебания пружинного маятника:

; ;

получим

, (7)

Отклоним теперь математический маятник длиной l (рис. 3) от положения равновесия на длину дуги sm