Нестандартные задачи в курсе школьной математики (неполное и избыточное условие)

учебниках приводит к тому, что и учителя не ориентируют свои умения на такие задачи, в результате чего их педагогическая подготовка содержит изъяны.

В заметке [5] В.Игнатенко пишет об ошибке, найденной в учебнике [1]. В этом учебнике на с.135 приведена задача 536(б). Вот её текст: "Отрезок BD является биссектрисой треугольника АBC. Найдите DC, если AB=30, AD=20, BD=16 и BDC=C.

Вроде бы ничего особенного в этой задаче нет. Однако автор, проведя решение двумя различными способами, заметил, что ответы в них не совпадают. Попытка смоделировать треугольник с данными, указанными в задаче, показала, что данные содержали противоречие. Оказывается, маститые авторы популярного учебника, включив противоречивую задачу в свой учебник, не заметили её противоречивости, как не замечали её и тысячи учителей, несколько лет работавших по этому учебнику.

Присутствие такой задачи (пока что только одной) в учебнике геометрии – только на пользу ученикам и учителям. Жаль, что эта задача – результат случайной оплошности авторского коллектива, а не результат её закономерного выбора.

Как пишет М.Буловацкий в своей статье [2], школьник, как правило, игнорирует важные вопросы о переизбыточности, недостаточности или противоречивости задач, так как задачи из школьных учебников не требуют размышления над такими вопросами, потому что в них практически всегда имеется столько данных, сколько необходимо для решения. И это является, по мнению М.Буловацкого, серьёзным недостатком математического образования школьников.

По результатам эксперимента, описанного в статье, переопределённые (с избыточным составом условия) или неопределённые (с недостатком данных) задачи ставят большинство школьников в тупик, из которого они зачастую не в состоянии выбраться. И это затруднение возникает в связи с тем, что у школьников не отработан навык отбора и предварительной оценки данных задачи. Как считает М.Буловацкий, отработке этого навыка нужно уделять специальное учебное время. [2]

Итак, анализ литературных источников выявляет важную для математического образования проблему: многие педагоги–исследователи указывают на целесообразность использования в обучении задач с «аномальными» условиями, а авторы учебников на это указание почти не реагируют.

Нас заинтересовала эта проблема с разных точек зрения. Во–первых, насколько полезно включение таких задач в школьный курс математики? Во–вторых, нужно ли специальное обучение учащихся решению таких задач? И если нужно, то каковы методические особенности такого обучения?

Поискам ответов на эти вопросы и посвящена настоящая работа.

I. Как ученики реагируют на «аномальные» задачи?

(констатирующие эксперименты)

Предварительно мы показали, что многие известные в педагогике учёные считают полезным включение неопределённых и переопределённых задач в процесс обучения. Почему же большинство учебников уделяет такое слабое внимание этим задачам? Может быть, учащиеся и без специального обучения в состоянии решать такие задачи? По крайней мере, выводы В.Крутецкого близки к утвердительному ответу. Но имеются и другие мнения.

Чтобы ответить на этот вопрос, был проведён ряд констатирующих экспериментов в разных классах.

Так, в период педагогической практики в 1997 году был проведен небольшой эксперимент в средней школе № 3 г. Орша.

Ученикам 6 класса, в составе которого на момент проведения эксперимента было 25 человек, на самостоятельной работе в качестве дополнительного задания была предложена следующая задача: в прямоугольнике стороны равны 8,4 см и 3,9 см, а периметр 24,6 см. Найти площадь прямоугольника. При решении этой задачи в классе выделилось несколько групп: 1 ученик не решил её вообще, мотивировав это тем, что не успел этого сделать; 2 ученика решили эту задачу полностью с объяснением того, почему они не использовали при решении задачи данный в ней периметр, но не проверили, соответствует ли данная длина периметра длинам сторон; 1 ученик (кстати, участник областной олимпиады по математике) решил эту задачу полностью и проверил соответствие в ней данных друг другу, но при этом возился с решением около 10 минут, а остальные ученики просто написали ответ к задаче без каких бы то ни было объяснений к нему.

После решения задания с учеником, полностью решившим задачу, была проведена беседа о том, с какими трудностями он столкнулся в процессе решения задачи, и выяснилось, что, решая эту задачу, он вначале думал, что в задаче даны два прямоугольника, площадь одного из которых он нашел сразу же и долго вычислял, как можно выразить площадь прямоугольника через его периметр. Но потом проверил, что длина периметра полностью соответствует длинам сторон, и решил, что в задаче речь идет об одном и том же прямоугольнике, а периметр дан только для того, чтобы запутать решение. На следующем уроке класс изъявил желание узнать, как же правильно решается эта задача. Им было подробно объяснено, что периметр в задаче является лишним данным и его не нужно использовать для решения, но в данной ситуации длины сторон в задаче соответствуют периметру, что бывает не всегда и требует проверки. После чего была предложена для решения задача аналогичного характера, но содержащая противоречие в тексте: в прямоугольнике длины сторон равны 6,7 см и 4,2 см, а площадь равна 25,3 кв. см. Требуется найти периметр прямоугольника. Как и ожидалось, все 25 учащихся решили эту задачу без использования площади и записали ответ. Все посчитали, что площадь в задаче является лишним данным, но никто не счёл нужным проверить, соответствуют ли данные друг другу. Результат самостоятельной работы (отсутствие "пятёрок" в работе с несложными задачами) заставил их всё же задуматься. Очередная беседа на ту же тему была воспринята ими уже с большим вниманием и пониманием. Учащиеся с большим интересом стали относиться к "не таким" (их определение) задачам, а позже и сами стали сочинять задачи с лишними данными, предлагая их друг другу и учителю как на уроках, так и вне уроков.

Нам представляется, что этот интерес можно объяснить новой необычной ситуацией в сфере знакомых вещей: для решения таких задач новых знаний не требуется, но требуется новый подход к ним, новые мыслительные приёмы. Т.е. происходит "шлифовка" мышления, его тренаж, что вполне соответствует запросам растущего организма.

Был проведен эксперимент и в 10 классе той же школы, где на момент эксперимента было 13 учащихся. Им была предложена для решения следующая текстовая задача: в одной мензурке имеется некоторое количество кислоты, в другой мензурке – такое же количество воды. Для приготовления раствора сначала вылили из первой мензурки во вторую 30 граммов кислоты. Затем 2/3 раствора, получившегося во второй мензурке перелили в первую. После этого в первой мензурке оказалось в 1,4 раза меньше жидкости, чем во второй мензурке. Сколько кислоты и воды было взято первоначально?

Все 13 учеников смогли верно составить уравнение, провести его решение и записать ответ: 12 граммов воды и кислоты было первоначально. На этом все прекратили решение задачи. Далее им было предложено вернуться к условию задачи, и попробовать подставить полученный результат в условие. Здесь сразу же возникли трудности, поскольку из мензурки, содержащей 12 г жидкости, требовалось вылить 30 г. Ученики отказывались понимать, как могло так получиться, что задача красиво решилась, но то, что получили в качестве ответа, не подходило по тексту задачи. Непонятным было также и то, как можно записать в ответе, что нет решения, когда на самом деле оно есть.

Задача вызвала резко негативное отношение десятиклассников, которые считали бесполезным решение таких задач для своего образования. Они требовали от учителя предлагать им для решения "нормальные" задачи, какие им и придётся решать при поступлении в ВУЗы.

Таким образом, эксперимент показал не только недостаточное развитие мышления старшеклассников, но и то, что у них уже отсутствует стремление к такому развитию. Они сами (полагаем, не без участия учителей) определили себе "потолок" своего развития, своей образованности, что в принципе для человека ненормально.

Аналогичный мини–эксперимент был проведён и в ходе преддипломной педагогической практики в сентябре – октябре 1998 года. Он проводился с учащимися средней школы № 2 г. Орши. В эксперименте принимали участие ученики 11–го класса, который является лицейским классом при Могилёвском машиностроительном институте (выпускные экзамены по математике и физике в этом классе совмещены со вступительными экзаменами в институт). Уровень преподавания математики в этом классе достаточно высок (три ученика – участники областной олимпиады по математике, один – её призёр).

Этим учащимся были предложены на уроке для самостоятельного решения следующие задачи:

1. В параллелограмме стороны 3 см и 5 см, а высота 4 см. Найти площадь параллелограмма.

2. В параллелограмме стороны 4 см и 5 см, а высота 3 см. Найти площадь параллелограмма.

С первой задачей возникли проблемы следующего характера: часть учеников, не обратив внимания на то, что в данной задаче параллелограмм определяется однозначно (высота 4 см может быть проведена только к стороне 3 см), выдали два ответа (12 см2 и 20 см2); ещё одна часть учеников остановилась на одном решении, просто не рассмотрев возможный второй случай (ответ либо 12 см2 либо 20 см2); и лишь один ученик сначала задал вопрос о том, сколько решений может иметь задача, и, получив совет "Думай!", выдал полное и правильное решение.

Со второй задачей у большей части учащихся дело обстояло практически так же, т.е. большинство указало только один ответ (даже подсказка о том, что решений может быть и больше, им не помогла), остальные – два ответа, но без обоснований.