Нестандартные задачи в курсе школьной математики (неполное и избыточное условие)

соотношения между понятиями и определениями, применяемыми при решении данной задачи.

IV. Расширенная система задач по теме «Сумма углов треугольника»

В соответствии с вышесказанным предлагается к рассмотрению система задач по теме "Сумма углов треугольника" (геометрия, 7 класс). Тема эта не громоздкая, достаточно чёткая и богато насыщенная различного рода задачными ситуациями.

Для составления требуемой системы задач было выделено 5 основных аспектов данной темы:

• непосредственное использование указанного свойства углов в произвольном треугольнике;

• то же – для равнобедренного треугольника;

• то же – для прямоугольного треугольника;

• то же – для углов, образованных внутри треугольника медианами, биссектрисами, высотами и др.;

• то же – с выходом на внешние углы треугольника.

I. Применение свойства углов для произвольного треугольника

1. Два угла треугольника равны 26 и 118. Найти величину третьего угла треугольника.

2. Два угла треугольника равны 118 и 62. Найти величину третьего угла.

3. Найти углы треугольника, если они пропорциональны числам 3, 4, 5.

4. В треугольнике ABC угол A равен 24, угол C в два раза больше угла B. Найти неизвестные углы треугольника.

5. Найти углы треугольника, если один из его углов равен сумме двух других, а два меньших угла относятся, как 2:3.

6. Найти попарные отношения углов треугольника, если один из них равен 36, а второй – 84. (Задача имеет 6 ответов).

7. В треугольнике ABC угол A равен 30, угол B равен 70, и два угла относятся, как 7:8. Найти углы треугольника ABC.

8. В треугольнике ABC угол A равен 30, угол B равен 70, и два угла относятся, как 4:7. Найти углы треугольника ABC.

9. В треугольнике ABC угол A равен 30 и углы относятся, как 1:1:4. Найти углы треугольника ABC.

10. В треугольнике ABC угол А равен 30, и углы относятся как 1:2:6. Найти углы треугольника ABC.

11. В треугольнике АВС угол А равен 70, и два угла относятся как 5:6. Найти углы треугольника АВС.

Первая задача традиционна для этой темы. Но вторая уже заставляет задуматься о возможных границах ответов в таких задачах.

Шестая задача выводит на необходимость вариативных рассуждений, о чём подсказка в скобках, тем самым готовит учащихся к вариативным рассуждениям в следующей задаче. Для решения задачи 7 ученик должен сначала задуматься об отношении каких именно углов идёт речь? Некоторые из этих вариантов будут отброшены как противоречивые, но не сразу, а после необходимых вычислений. Для ответа останется один из них. В задаче же 8 ни один из рассмотренных вариантов не выведет на ответ. Аналогичные рассуждения понадобятся и при решении задач 8–11.

II. Применение свойства углов для равнобедренного треугольника

1. Найти углы равнобедренного треугольника, если угол при его вершине равен 28.

2. Найти углы равнобедренного треугольника, если угол при его основании равен 28.

3. Может ли равнобедренный треугольник иметь углы величиной 55 и 70 ? 24 и 62?

4. Найти углы равнобедренного треугольника, если один из них равен 100.

5. Найти углы равнобедренного треугольника, если два его угла соответственно равны: а) 55 и 70; б) 40 и 110; в) 20 и 20; г) 60 и 60.

6. Может ли биссектриса, медиана или высота треугольника разбивать его на два равносторонних треугольника?

7. Найти углы равнобедренного треугольника, у которого высота, проведённая к основанию, разбивает его на 2 треугольника так, что соотношение острых углов каждого из полученных треугольников равно 1:2.

8. Доказать, что равнобедренный треугольник с углом 60 является равносторонним.

9. Какими могут быть углы равнобедренного треугольника , если биссектриса одного из углов разбивает треугольник на два равнобедренных треугольника.

10. Доказать, что если любые две биссектрисы треугольника, пересекаясь, образуют со сторонами равнобедренные треугольники, то данный треугольник равносторонний.

11. Доказать, что отрезки высот равностороннего треугольника образуют со сторонами этого треугольника 3 равнобедренных треугольника.

Последние две задачи этого раздела – привычные задачи школьного учебника. Но решать такие задачи ученики не любят именно потому, что здесь требуется выполнить перебор всех возможных вариантов, к чему они не очень хорошо подготовлены. Поэтому предыдущие задачи в большей своей части и содержат необходимость выполнения перебора вариантов, что, как нам представляется, и должно подготовить учащихся к решению двух последних задач.

III. Применение свойства углов для прямоугольного треугольника

1. Один из углов прямоугольного треугольника равен 73. Найти другой его острый угол.

2. В прямоугольном треугольнике один угол равен 65. Найти величины остальных углов.

3. Один из острых углов прямоугольного треугольника в 5 раз больше другого. Найти эти углы.

4. Найти острые углы прямоугольного треугольника. если один из них на 32 больше другого.

5. Острые углы прямоугольного треугольника пропорциональны числам 5 и 7. Найти эти углы.

6. Разность острых углов прямоугольного треугольника равна 15. Найти эти углы.

7. Найти углы прямоугольного треугольника. если один из них в 5 раз больше другого.

8. Найти углы прямоугольного треугольника, если один из них на 32 больше другого.

9. Найти углы прямоугольного треугольника, если один из них в 3 раза меньше другого.

10. Углы треугольника пропорциональны числам Х, 8 и 10. Каким может быть число Х, если треугольник прямоугольный?

11. Два угла прямоугольного треугольника пропорциональны числам 2 и 3. Найти углы треугольника.

12. Можно ли найти отношение сторон прямоугольного треугольника (хотя бы некоторых), если известно, что один из его углов в 2 раза больше другого?

Первые шесть задач этого раздела традиционные. Пять следующих (от седьмой до одиннадцатой) внешне похожи на первые шесть, но содержат одну неопределённость, существенно влияющую на характер решения: речь уже не идёт об острых углах и потому к числу затронутых в условии углов придётся теперь относить и прямой угол. Таким образом, задача получит несколько возможных ответов. Последняя задача не может быть решена в полном виде до изучения теоремы Пифагора, поэтому в седьмом классе возможно лишь её частичное решение: либо равнобедренный прямоугольный треугольник с отношением катетов 1:1, либо прямоугольный треугольник с углом 30, где отношение катета к гипотенузе равно 1:2.

IV. Применение свойства углов в треугольнике с дополнительными построениями

1. В треугольнике АВС биссектрисы углов А и В пересекаются в точке К. Найти величину угла АКВ, если А=50, В=100.

2. В равнобедренном треугольнике угол равен 68. Под каким углом пересекаются биссектрисы двух других его углов?

3. Под каким углом пересекаются биссектрисы равностороннего треугольника? высоты равностороннего треугольника?

4. Треугольник имеет углы 36 и 74. Под каким углом пересекаются высоты, проведенные из вершин этих углов? Под каким углом пересекаются биссектрисы этих углов?

5. В треугольнике АВС (АВ=ВС) проведена биссектриса СМ. Найти углы треугольника АВС, если величина угла АМС равна 120.

6. В треугольнике АВС А=40, С=70, биссектрисы углов А и С пересекаются в точке К, АКС=125. Найти В.

7. В треугольнике АВС А=30, С=80, биссектрисы углов А и В пересекаются в точке К, АКВ=135. Найти угол В.

8. Под каким углом пересекаются неравные биссектрисы равнобедренного треугольника, один из углов которого 96? 90? 86?

9. В равнобедренном треугольнике АВС проведена биссектриса АМ. Найти углы треугольника АВС, если АМС=64.

10. Биссектрисы углов А и В треугольника АВС пересекаются в точке К. Найти величину угла АКВ, если величина угла АСВ равна 170.

11. Найти величину угла треугольника. если биссектрисы двух других его углов пересекаются под углом 100.

12. В каком треугольнике биссектрисы пересекаются под прямым углом?

13. В треугольнике АВС биссектрисы углов А и В пересекаются в точке К. BАC=70. Найти угол АКВ.

В задачах этого раздела также запланирован переход от традиционных задач к задачам, требующим анализа условия и рассмотрения различных вариантов.

V. Задачи с внешними углами треугольника

1. Внешний угол треугольника равен 130, один из не смежных с ним внутренних 70. Найти углы треугольника.

2. Углы треугольника равны 47, 69 и 64. Найти внешние углы треугольника.

3. Внешний угол треугольника равен 130, а два внутренних 60 и 70. Найти углы треугольника.

4. Внешний угол треугольника равен 130, а два внутренних – 30 и 60. Найти углы треугольника.