←предыдущая следующая→
1 2 3 4 5 6 7 8
5. Один из внутренних углов прямоугольного треугольника равен 47, а один из внешних – 137. Найти величины остальных внутренних углов.
6. В прямоугольном треугольнике внутренний угол равен 47, внешний 133. Найти величины остальных внутренних углов.
7. В прямоугольном треугольнике внутренний угол равен 47, внешний 143. Найти величины остальных внутренних углов.
8. Найти углы равнобедренного треугольника. если один из его внешних углов равен 30.
9. Один из внешних углов прямоугольного треугольника равен 107. Найти его внутренние углы.
10. Один из внешних углов треугольника равен 130, а один из внутренних – 46. Найти другие внутренние и внешние углы треугольника.
11. Один из внешних углов равнобедренного треугольника равен 96. Найти внутренние углы треугольника.
12. Сумма внешних углов с вершинами А и В равна 186. Найти величину угла С треугольника АВС.
13. Сумма двух внешних углов с вершинами А и В равна 172. Найти величину угла С треугольника АВС.
14. Внешний угол прямоугольного треугольника в 7 раз больше внутреннего с той же вершиной. Найти углы треугольника.
15. Внешний угол прямоугольного треугольника в 4 раза больше внутреннего. Найти углы треугольника.
16. Найти сумму внешних углов прямоугольного треугольника (по одному при каждой вершине).
17. Разность двух внешних углов треугольника равна третьему внешнему углу. Найти внутренние углы треугольника.
18. Найти отношение внешних углов равнобедренного треугольника, если отношение его внутренних углов 2:5.
19. Под каким углом пересекаются две прямые, если при пересечении их третьей сумма внутренних односторонних углов равна 215?
20. Один из углов треугольника в 3 раза больше другого, а разность внешних углов при этих же вершинах равна 80. Найти углы треугольника.
21. Один из углов треугольника в 2 раза больше другого, а разность внешних углов при этих же вершинах равна 80. Найти углы треугольника.
22. Внешние углы треугольника пропорциональны числам 3, 7, 8. Каким числам пропорциональны его внутренние углы?
23. Прямые a и b пересекаются под углом 85. Прямая c пересекает a и b так, что разность внутренних односторонних углов равна 75. Определить вид полученного треугольника.
24. Прямые a и b пересекаются под углом 75. Прямая c пересекает a и b так, что разность внутренних односторонних углов равна 85. Определить вид полученного треугольника.
25. Определить, под каким углом пересекаются прямые c и d, если прямая а пересекает их так, что сумма внутренних односторонних углов равна 54.
26. Прямые k и l пересекаются под углом 33. Прямая р пересекает их так, что один из внутренних односторонних углов в 2 раза больше другого. Найти углы треугольника, образованного этими прямыми.
27. Прямые a и b пересекаются под углом 40. Прямая р пересекает их так, что в получившемся треугольнике углы относятся, как 1:7:28. Найти углы треугольника, образованного этими прямыми.
28. Под каким углом пересекаются прямые c и d, если прямая а пересекает их так, что разность внутренних односторонних углов равна 90
Из задач этого раздела остановимся на шести последних задачах. Возможные здесь варианты появляются несколько неожиданно для учащихся. Например, в задаче 23 для построения прямой с возможны две ситуации (см. рисунки):
В этом случае имеем:
85+х+х+75=180
Здесь получаем:
х=10. Возможно ещё и такое размещение прямых.
180–85+х+х+75=180
х=5.
Задача имеет два ответа: 10 и 5.
В задаче 24 также возможны два варианта построения прямых а, b и с (см. рисунки):
В данном случае имеем:
75+х+х+85=180.
Отсюда:
х=10. Для такого размещения:
180–75+х+х+85=180.
Отсюда:
х=–5, чего не может быть.
Как видим, перестановка в условии задачи двух числовых данных (75 и 85) приводит к тому, что в ответе получается возможным лишь одно значение: х=10.
Вовсе необязательно предлагать эти задачи всем учащимся. Для учащихся с преимущественной оценкой "3" многие задачи из второй части каждого раздела недоступны и необязательны. В то же время для отлично успевающих учащихся некоторые изначальные задачи очень просты и потому их можно пропускать. Из предложенного перечня можно выделить набор задач, минимально необходимый для оценки "3", потом – набор задач, минимально необходимый для оценки "4", наконец – набор задач, минимально необходимый для оценки "5" (первый, второй и третий уровни освоения указанной темы). Видимо, можно назвать задачи из этого перечня, которые превышают и третий уровень, т.е. не являются обязательными (но весьма желательными) для получения оценки "5".
Так, задачи первого уровня сложности рассчитаны на прямое применение некоторого алгоритмического правила, а также применение этого правила с небольшими вариациями. Задачи этого уровня не представляют сложности для большинства учащихся, потому что подобных этим задач достаточно много решается на уроках. Задачи неопределённые здесь не рекомендуются, а задачи переопределённые допускаются в случае несложного выявления избыточных данных (о наличии которых учащихся в большинстве случаев следует предупреждать).
Задачи второго уровня сложности могут иметь следующие отличительные черты:
• условие задачи избыточно, но не содержит противоречия и задача решается однозначно. Для решения задач этого типа необходимо из всех данных задачи выбрать необходимые, и применить их.
• условие задачи содержит противоречие (состав условия задачи может быть как полным, так и избыточным).
• условие задачи не содержит никаких из рассмотренных нюансов с данными (состав условия полный), но по сравнению с задачами первого уровня приём, применяемый для решения, более сложный (правило применяется не "в лоб").
Задачи третьего уровня сложности отличаются ещё большим разнообразием. Для решения задач этого уровня от учеников требуется и больший объём знаний (при решении задачи приходится использовать комбинацию приёмов и навыков, изученных раньше), и наличие навыка вариативных рассуждений, которого теперешним ученикам в значительной мере не хватает. Задачи этого уровня вдобавок к сложности приёмов решения могут иметь в условии неопределённость, приводящую к неопределённому ответу.
Также стоит отдельно сказать несколько слов о задачах, которые по своей сложности стоят выше задач третьего уровня. Эти задачи имеют в своём условии неопределённость, но эта неопределённость подразумевает в решении задачи бесконечное множество ответов. Чаще всего такая формулировка задачи пугает ученика и он говорит, что задача не имеет решения, потому что не хватает данных, хотя можно было бы провести решение данной задачи и получить довольно конкретный результат.
Заключение
Подводя итог проделанной работе, отметим следующее.
О целесообразности введения неопределённых и переопределённых задач в школьный курс обучения убедительно сказано авторитетными методистами, специалистами в области математического образования. Инерционная школа пока ещё не учитывает этой целесообразности, но сдвиги в указанном направлении уже есть.
Бесспорно и то, что дополнение традиционных школьных наборов задач задачами неопределёнными и переопределёнными (в работе использован обобщающий термин для обоих видов задач – задачи с «аномальным» условием или просто «аномальные» задачи) вызовет необходимость особых методических подходов к обучению решению таких задач, подходов, расширяющих возможности учащихся в решении задач вообще, углубляющих и усовершенствующих их навыки поиска решения любой задачи, а в итоге развивающих их мышление. Попытки осознания таких подходов предприняты в данной работе. На одном из примеров показан возможный вариант расширения традиционного задачника, его дополнения задачами с «аномальным» условием.
Разумеется, работа не может претендовать на полноту и завершённость, поскольку затронутая проблема достаточно глубинна и объёмна и требует не одного года кропотливой работы не одного человека.
Однако автор надеется, что хотя бы небольшой шаг в нужном направлении им сделан.
По материалам данного исследования подготовлена (в соавторстве) статья, опубликованная в журнале «Матэматыка: праблемы выкладання» № 2 за 1999 год.
Список использованной литературы:
1. Атанасян Л.С. и др. Геометрия. Учебник для 7–9 классов средней школы. – М.: Просвещение, 1990.
2. Буловацкий М.П. Разнообразить виды задач // Математика в школе. – 1988. – № 5, с.
3. Булавацкі М., Макавецкі І. Аб задачах, якіх няма ў школьных падручніках // Матэматыка: праблемы выкладання. – 1999. – № 2, с. 59 – 64.
4. Дегтянникова И.Н. Остроугольный или тупоугольный // Математика в школе. – 1998. – № 5, с. 43.
5. Игнатенко В.З. Сюрпризы биссектрисы // Математика в школе. – 1998. – № 5, с. 42.
6. Каплан Б.С. Методы обучения
←предыдущая следующая→
1 2 3 4 5 6 7 8