←предыдущая следующая→
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
значительной степени (и тем большей, чем сложнее уравнение) — эвристической. Именно правильный выбор необходимых тождественных и равносильных преобразований, как и всякий поиск решения задачи, представляет наибольшую трудность для учащихся.
Обучение решению уравнений начинается с простейших их видов, и программа обусловливает постепенное накопление как их видов, так и «фонда» тождественных и равносильных преобразований, с помощью которых можно привести произвольное уравнение к простейшим. В этом направлении следует строить и процесс формирования обобщенных приемов решения уравнений в школьном курсе алгебры.
Обобщение приемов решения уравнений
Обобщение способов деятельности учащихся при решении уравнений происходит постепенно. Выделим следующие этапы, процесса обобщения приемов решения уравнений:
решение простейших уравнений данного вида;
анализ действий, необходимых для их решения;
вывод алгоритма (формулы, правила) решения и запоминание его;
решение несложных уравнений данного вида, не являющихся простейшими;
анализ действий, необходимых для их решения;
формулировка частного приема решения;
применение полученного частного приема по образцу, в сходных ситуациях, в легко осознаваемых вариациях образца;
работа по описанным этапам для следующих видов уравнений согласно программе;
сравнение получаемых частных приемов, выделение общих действий в их составе и формулировка обобщенного приема решений.
применение обобщенного приема в различных ситуациях, перенос и создание на его основе новых частных приемов для других видов уравнений.
Учитель руководит всем процессом обобщения, его деятельность направлена на создание ситуаций (условий) для реализации этой схемы в процессе поэтапного формирования приемов: подбор упражнений и вопросов для диагностики контроля, помощь учащимся в осознании состава приема решения, его формулировки, отработки.
В V—VI классах при изучении числовых множеств в учебниках формулируется довольно много алгоритмов действий над числами и правил простейших тождественных преобразований выражений. Формулировка частных приемов решения различных простейших уравнений первой степени может естественно вписаться в этот процесс, не ограничиваясь, как это делают школьные учебники алгебры, объяснениями на примерах.
Проводя работу по этапам процесса обобщения, к концу изучения курса математики V—VI классов можно сформировать у учащихся, во-первых, обобщенный прием решения уравнения первой степени с одной переменной в следующем виде:
1) рассмотреть данное уравнение, отметить его особенности;
2) установить, какие из следующих упрощений уравнения можно сделать: перенос слагаемых из одной части уравнения в другую, приведение подобных слагаемых в левой и правой частях уравнения, раскрытие скобок, деление обеих частей на коэффициент при неизвестном;
3) упростить уравнение;
4) найти значение неизвестного;
5) записать ответ.
Во-вторых, можно сформулировать и обобщенный прием решения задач с помощью уравнений, например, так, как это сделано в учебнике «Алгебра-7» под редакцией С. А. Теляковского (М., 1989): «...поступают следующим образом: обозначают некоторое неизвестное число буквой и, используя условие задачи, составляют уравнение; решают это уравнение; истолковывают полученный результат в соответствии с условием задачи».
В таком виде оба приема следует повторить в начале систематического изучения курса алгебры в VII классе, затем уточнить их с учетом того, что здесь дают определения основным понятиям (уравнения, корня, равносильности, линейного уравнения).
Способы решения квадратных уравнений различных видов школьные учебники по алгебре объясняют также на примерах. Отработав частные приемы решения неполных квадратных уравнений и по дискриминанту, уместно сформулировать обобщенный прием решения квадратного уравнения (по аналогии с приемом решения уравнения первой степени):
1) определить, является ли уравнение простейшим (неполным или полным) квадратным уравнением; если «да», то п. 4, если «нет» — п. 2;
2) установить, какие из следующих тождественных и равносильных преобразований нужно выполнить, чтобы привести уравнение к простейшему: раскрытие скобок, приведение к общему знаменателю, перенесение членов из одной части в другую, приведение подобных;
3) привести с помощью выбранных преобразований уравнение к квадратному уравнению ах2 +bх+с=0, где а>0;
4) проверить равенство коэффициентов b и c нулю; если b=0 или c=0, то п. 5, если bс0, то п. 6;
5) найти х по правилам: при b=c=0 х1,2=0; при с=0 и b0
при b=0 и c0 решений нет;
6) найти дискриминант уравнения D=b2—4ac;
7) найти х по формуле: при D>0 при D=0
при Dc.
Ход урока.
I. Организационное начало урока.
-Здравствуйте, садитесь, сегодня урок алгебры проведу у вас я, зовут меня Елена Федоровна
II. Сообщение темы и цели.
-Сегодня, на уроке мы познакомимся с уравнениями нового вида - «Линейными уравнениями с двумя переменными».
III. Актуализация знаний учащихся.
-Посмотрите на доску. Какие из этих уравнений вам уже знакомы?
7х2+3х+5=0 5х+9=54
4х+9у=7 9(х2+6х+2)-8=30
x2/3+y2/2=1 4(х+2)+1=х+18.
-А как называются эти уравнения?
-Правильно это линейные уравнения с одной переменной.
-А кто скажет определение линейного уравнения с одной переменной?
-Уравнение вида ах=в, в котором x- переменная, а а и в – некоторые числа , называется линейным уравнением с одной переменной.
-Откройте учебники на стр. 27 , прочитайте это определение. Повтори…
-Приведите примеры линейных уравнений с одной переменной.
-Посмотрите на доску, перед вами линейные уравнения. Давайте вспомним как они решаются.
-Откройте тетради, запишите число, классная работа, тема: «Линейные уравнения с двумя переменными.»
-Все решают уравнения в тетрадях, а Оля пойдет к доске и решит с подробным объяснением первое уравнение:
2х+6=10
(Перенесем слагаемое без х в правую часть уравнения, изменив при этом его знак на противоположный: 2х=10-6 , вычислим результат 2х=4. Разделим обе части уравнения на 2, получим х=2).
-Молодец. Садись.
-Второе уравнение пойдет решать Саша.
2(х+3)+4=х-1.
(Раскроем скобки, для этого умножим 2 на каждое слагаемое суммы (х+3), получим 2х+6+4=х-1. Перенесем слагаемые, содержащие х в левую часть уравнения, а не содержащие х – в правую часть, изменив при этом знаки на противоположные.
2х-х= -6-4-1.
Приведем подобные слагаемые : х= - 11.
- Ребята , такие уравнения вы хорошо умеете решать.
- А какие свойства применяли при решении этих уравнений? (Если в уравнении слагаемое перенести из одной части в другую, изменив его знак , то получится уравнение, равносильное данному.)
- А какое еще свойство вы применяли? (Если разделить или умножить обе части уравнения на одно и тоже отличное от нуля число, то получится уравнение равносильное данному.)
IV. Изучение нового материала.
-Ребята, а сегодня мы познакомимся с уравнениями нового вида.
-Пусть известно , что одно их двух чисел на 5 больше другого. Если первое число обозначить буквой х, а второе буквой у, то соотношение между ними можно записать в виде равенства х-у=5, содержащего 2 переменные. Такие уравнения называются уравнениями с двумя переменными или уравнениями с двумя неизвестными.
-Уравнениями с двумя переменными также являются уравнения:
5х+2у=10, -7х+у=5, х2+у2=20 , ху=12 (запись на доске).
-Из этих уравнений первые два имеют вид ах+ву=с, где а, в, с – числа. Такие уравнения называются линейными уравнениями с двумя переменными.
-Итак: Линейным уравнением с двумя переменными называется уравнение вида ах+ву=с где х и у – переменные, а, в, с, - некоторые числа .
-Откройте учебники на странице 188.Прочитайте определение про себя.
-Теперь прочитайте вслух.
-А кто из вас повторит его ?
-уравнение х-у=5, при х=8, у=3. Обращается в верное равенство 8-3=5. Говорят, что пара значений переменных х=8, у=3 является решением этого уравнения. Записываю на доске:
х-у=5, х=8, у=3
8-3=5 - верное равенство.
Определение: Решением уравнения с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая это уравнение в верное равенство.
-Прочитайте это определение на странице 188 про себя.
-Прочитайте его вслух.
-Кто повторит? Повтори…
-А какие еще пары чисел будут являться решениями уравнения х-у=5? (х=105, у=100; х=4, у= -1,…)
-Правильно решениями этого уравнения будут являться числа, разность которых равно 5.
-Иногда пары значений переменных записывают короче: (105; 100), (4;- 1). ( Запись на доске).
-При такой записи необходимо знать, значение какой из переменных стоит на первом месте, а какой – на втором.
-в записи решений уравнения с переменными х и у на первом месте записывают значения х, а на втором – значение у.
-Уравнения с двумя переменными имеющие одни и те же решения, называют равносильными. уравнения с двумя переменными, не имеющие решений, также считают
←предыдущая следующая→
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12