Алгебра

АЛГЕБРА

“Алгебра есть не что иное, как математический язык, при-способленный для обозначения отношений между количест-вами”.

И. Ньютон

Алгебра – часть математики, которая изучает общие свойства действий над раз-личными ве¬личинами и решение уравнений, связанных с этими действиями.

Решим задачу: “Возрасты трех братьев 30, 20 и 6 лет. Через сколько лет возраст старшего будет равен сумме возрастов обоих млад¬ших братьев?” Обозначив ис-комое число лет через х, составим уравнение: 30 + х = (20+х) + (6 + х) откуда х = 4. Близкий к описан¬ному метод решения задач был известен еще во II тысячелетии до н.э. писцам Древнего Египта (однако они не применяли буквенной символики). В сохранившихся до наших дней математических папирусах имеются не только задачи, которые приводят к уравнениям пер¬вой степени с одним неизвестным, как в зада¬че о возрасте братьев, но и задачи, приводя¬щие к уравнениям вида ах2 = b.

Еще более сложные задачи умели решать с начала II тысячелетия до н.э. в Древ-нем Вавилоне; в математических текстах, выпол¬ненных клинописью на глиняных пластинках, есть квадратные и биквадратные уравнения, системы уравнений с двумя неизвестными и даже простейшие кубические уравнения. При этом вави-лоняне также не использовали букв, а приводили решения “типовых” задач, из ко-торых решения аналогичных задач полу¬чались заменой числовых данных. В чи-словой форме приводились и некоторые правила тождественных преобразований. Если при решении уравнения надо было извлекать квадратный корень из числа а, не являющегося точным квадратом, находили приближенное значение корня х: делили а на х и брали среднее арифметическое чисел х и а/х.

Первые общие утверждения о тождественных преобразованиях встречаются у древнегреческих математиков, начиная с VI в. до н.э. Среди математиков Древней Греции было принято выражать все алгебраические утверждения в геометриче-ской форме. Вместо сложения чисел говорили о сложении отрезков, произведение двух чисел истолковывали как площадь прямоугольника, а произведение трех чи-сел–как объем прямоугольного параллелепипеда. Алгебраические формулы при-нимали вид соотношений между площадями и объемами. Например, говорили, что площадь квадрата, построенного на сумме двух отрезков, равна сумме площа-дей квадратов, построенных на этих отрезках, увеличенной на удвоенную пло-щадь прямоугольника, построенного на этих отрезках. С того времени и идут термины “квадрат числа” (т. е. произведение величины на самое себя), “куб чис-ла”, “среднее геометрическое”. Геометрическую форму приняло у греков и реше-ние квадратных уравнений - они искали стороны прямоугольника по заданным периметру и площади.

Большинство задач решалось в Древней Греции путем построений циркулем и линейкой. Но не все задачи поддавались такому решению. Например, “не реша-лись” задачи удвоения куба, трисекции угла, задачи построения правильного се-миугольника. Они приводили к кубическим уравнениям вида х3 = 2, 4х3 - Зх = а и х3 + х2 - 2х - 1 = 0 соответственно. Для решений этих задач был разработан новый метод, связанный с отысканием точек пересечения конических сечений (эллипса, параболы и гиперболы).

Геометрический подход к алгебраическим проблемам сковывал дальнейшее раз-витие науки, так как, например, нельзя было складывать величины разных раз-мерностей (длины и площади или площади и объемы), нельзя было говорить о произведении более чем трех множителей и т.д. Отказ от геометрической трак-товки наметился у Диофанта Александрийского, жившего в III в. В его книге “Арифметика” появляются зачатки буквенной символики и специальные обозна-чения для степеней неизвестного вплоть до 6-й. Были у него и обозначения для степеней с отрицательными показателями, обозначения для отрицательных чисел, а также знак равенства (особого знака для сложения еще не было), краткая запись правил умножения положительных и отрицательных чисел. На дальнейшее разви-тие алгебры сильное влияние оказали разобранные Диофантом задачи, приводя-щие к сложным системам алгебраических уравнений, в том числе к системам, где число уравнений было меньше числа неизвестных. Для таких уравнений Диофант искал лишь положительные рациональные решения.

С VI в. центр математических исследований перемещается в Индию и Китай, страны Ближнего Востока и Средней Азии. Китайские ученые разработали метод последовательного исключения неизвестных для решения систем линейных уравнений, дали новые методы приближенного решения уравнений высших сте-пеней. Индийские математики использовали отрицательные числа и усовершен-ствовали буквен¬ную символику. Однако лишь в трудах ученых Ближнего Востока и Средней Азии ал¬гебра оформилась в самостоятельную ветвь математики, трак-тующую вопросы, связанные с решением уравнений. В IX в. узбекский ма¬тематик и астроном Мухаммед ал-Хорезми написал трактат “Китаб аль-джебр валь-мукабала”, где дал общие правила для решения уравнений первой степени. Сло-во,,алъ-джебр" (восстановление), от которого новая наука алгебра получила свое название, означало перенос отрицательных членов уравнения из одной его части в другую с изменением знака. Ученые Востока изучали и решение кубических урав-нений, хотя не сумели получить общей формулы для их корней.

В Западной Европе изучение алгебры началось в XIII в. Одним из крупных ма-тематиков этого времени был итальянец Леонардо Пизанский (Фибоначчи) (ок. 1170 – после 1228). Его “Книга абака” (1202) – трактат, который содержал сведе-ния об арифметике и алгебре до квадратных уравнений включительно (см. Числа Фибоначчи). Первым крупным само¬стоятельным достижением западноевропей¬ских ученых было открытие в XVI в. формулы для решения кубического уравне-ния. Это бы¬ло заслугой итальянских алгебраистов С. Дель Ферро, Н. Тарталья и Дж. Кардано. Ученик последнего – Л. Феррари решил и уравнение 4-й степени. Изучение некоторых вопросов, связанных с корнями кубических уравнений, при-вело итальянского алгебраиста Р. Бомбелли к от¬крытию комплексных чисел.

Отсутствие удобной и хорошо развитой символики сковывало дальнейшее раз-витие алгебры: самые сложные формулы приходи¬лось излагать в словесной фор-ме. В конце XVI в. французский математик Ф. Виет ввел буквенные обозначения не только для не¬известных, но и для произвольных по¬стоянных. Символика Виета была усовершен¬ствована многими учеными. Окончательный вид ей придал в на-чале XVII в. французский философ и математик Р. Декарт, который ввел (упот-ребляемые и поныне) обозначения для показателей степеней.

Постепенно расширялся запас чисел, с ко¬торыми можно было производить дей-ствия. Завоевывали права гражданства отрица¬тельные числа, потом – комплекс-ные, ученые стали свободно применять иррациональные числа. При этом оказа-лось, что, несмотря на такое расширение запаса чисел, ранее установленные пра-вила алгебраических преобразований сохраняют свою силу. Нако¬нец, Декарту удалось освободить алгебру от несвойственной ей геометрической формы. Все это позволило рассматривать вопросы ре¬шения уравнений в самом общем виде, приме¬нять уравнения к решению геометрических за¬дач. Например, задача об оты-скании точки пересечения двух линий свелась к решению системы уравнений, ко-торым удовлетворяли точки этих линий. Такой метод решения гео¬метрических задач получил название аналити¬ческой геометрии.

Развитие буквенной символики позволило установить общие утверждения, ка-сающиеся алгебраических уравнений: теорему Безу о де¬лимости многочлена Р (х) на двучлен х - а, где а – корень этого многочлена; соотношения Виета между кор-нями уравнения и его коэф¬фициентами; правила, позволяющие оцени¬вать число действительных корней уравнения; общие методы исключения неизвестных из си¬стем уравнений и т.д.

Особенно далеко было продвинуто в XVIII в. решение систем линейных уравне¬ний – для них были получены формулы, позво¬ляющие выразить решения через коэффи¬циенты и свободные члены. Дальнейшее изу¬чение таких систем уравнений привело к созданию теории матриц и определителей. В конце XVIII в. было доказано, что любое алгебраическое уравнение с комплексными коэффици-ентами имеет хотя бы один ком¬плексный корень. Это утверждение носит на¬звание основной теоремы алгебры.

В течение двух с половиной столетий вни¬мание алгебраистов было приковано к задаче о выводе формулы для решения общего урав¬нения 5-й степени. Надо было выразить корни этого уравнения через его коэффициенты с по¬мощью арифмети-ческих операций и извлече¬ний корней (решить уравнение в радикалах). Лишь в начале XIX в, итальянец П. Руффини и норвежец Н. Абель независимо друг от дру¬га доказали, что такой формулы не суще¬ствует. Эти исследования были за-вершены французским математиком Э. Гачуа, методы которого позволяют для каждого данного уравнения определить, решается ли оно в радикалах. Один из крупнейших математи¬ков К. Гаусс выяснил, при каких условиях можно постро-ить циркулем и линейкой пра¬вильный n-угольник вопрос оказался свя¬занным с изучением корней уравнения хn = 1. Выяснилось что эта задача разрешима лишь в случае, когда число п является простым числом Ферма или произведением не-скольких различных простых чисел Ферма (простыми числами Ферма называют-ся простые числа, представимые в виде 22n + 1, до сих пор из¬вестны лишь пять таких чисел 3, 5, 17, 257, 65537) Тем самым молодой студент (Гауссу было в то время лишь 19 лет) решил задачу, которой безуспешно занимались ученые более двух тысячелетий.

В начале XIX в. были решены основные за¬дачи, стоявшие перед алгеброй в пер-вом ты¬сячелетии ее развития. Она получила самостоятельное обоснование, не опирающееся на геометрические понятия, и, более того, алгебраические методы стали применяться для ре¬шения геометрических задач. Были разрабо¬таны правила буквенного исчисления для рациональных и иррациональных выражений, выяс-нен вопрос о разрешимости уравнений